数学分支分类

1. 基础数学（核心分支）

• 算术（Arithmetic）：数的基本运算（加减乘除、数论基础）
• 初等代数（Elementary Algebra）：方程、多项式、函数等
• 几何（Geometry）：
  • 欧几里得几何（平面与立体几何）
  • 解析几何（坐标系下的几何）
  • 非欧几何（如双曲几何、黎曼几何）
  • 拓扑学（研究连续变形下的性质）

2. 纯数学（Pure Mathematics）

代数学（Algebra）

• 线性代数（向量空间、矩阵）
• 抽象代数（群、环、域、模）
• 同调代数、范畴论
• 代数几何（代数方程定义的几何对象）

分析学（Analysis）

• 微积分（微分、积分）
• 实分析（实数函数的性质）
• 复分析（复变函数）
• 泛函分析（无限维向量空间）
• 调和分析（傅里叶分析）

数论（Number Theory）

• 初等数论
• 解析数论
• 代数数论

拓扑学（Topology）

• 点集拓扑
• 代数拓扑（同伦、同调）
• 微分拓扑（流形研究）

逻辑与集合论（Logic & Set Theory）

• 模型论
• 证明论
• 递归论
• 公理化集合论

3. 应用数学（Applied Mathematics）

• 概率论与统计学（Probability & Statistics）：
  • 概率论（随机过程、马尔可夫链）
  • 统计学（数据分析、假设检验）
• 计算数学（Computational Mathematics）：
  • 数值分析（近似算法）
  • 科学计算
• 离散数学（Discrete Mathematics）：
  • 组合数学
  • 图论
  • 离散优化
• 数学物理（Mathematical Physics）：
  • 微分方程（偏微分方程、动力系统）
  • 量子数学
  • 广义相对论的数学基础
• 运筹学（Operations Research）：
  • 线性/非线性规划
  • 博弈论
  • 控制理论

4. 交叉学科与新兴领域

• 信息论（Information Theory）（数学与计算机科学交叉）
• 密码学（Cryptography）（数论+代数+计算复杂性）
• 生物数学（Mathematical Biology）（如种群动力学）
• 金融数学（Financial Mathematics）（随机微积分、期权定价）
• 数据科学（Data Science）（统计学+机器学习+优化）

5. 其他重要分支

• 微分几何（Differential Geometry）（流形、曲率）
• 测度论（Measure Theory）（积分的基础）
• 表示论（Representation Theory）（对称性的代数研究）
• 模型论（Model Theory）（数学结构与逻辑）